Reductio ad absurdum

 

      Uma das grandes armas da Matemática, é a demonstração. Na realidade, nada é aceite como lei, como regra, se não for demonstrado. Pode até ser aceite que um dado enunciado, que uma dada regra, tem vindo a ser usada sempre com resultados positivos o que faria com que em outra qualquer ciência, sem de modo nenhum lhe retirar o mérito, esse enunciado seria uma regra aceite por todos, mas na Matemática foi criada uma categoria onde se encaixam até serem demonstrados e que são as Conjeturas.

       A demonstração é assim, um dos pilares da construção matemática. Parece ter sido Pitágoras, ou a Escola Pitagórica, quem criou esta excelente ferramenta, mas tendo sido ou não uma das formas e há várias, de fazer uma demonstração é a "Redução ao Absurdo" que é uma das formas mais curiosas e que suscita sempre alguma perplexidade a quem está de fora destas questões.

       Por estas razões e por homenagem a Pitágoras tenha sido ele ou não o criador primeiro da demonstração, aqui fica uma demonstração por redução ao absurdo, sobre o facto de o número dito "irracional" que é raiz quadrada de dois não poder ser representado por uma fração, assunto tão importante  para os pitagóricos.

             Antes de começar com a demonstração propriamente dita, peço aqui desculpa pela muita simplicidade da linguagem que vou usar, aqueles que entendem alguma coisa de matemática mas como é meu hábito neste "blog" os meus artigos destinam-se aos que não gostam de matemática e não a entendem muito bem.

       Mais refiro que o facto da raiz quadrada de dois ser o número (repare-se na conotação depreciativa da palavra) "irracional" que escolhemos tem a ver com a questão histórica de ter sido o raiz de dois o número que os pitagóricos referiam como aquilo que era sacrílego.

       Realmente, o número raiz de dois, que se representa por

 

                                                                                                                      é nem mais nem menos que o resultado obtido com o famoso Teorema de Pitágoras, aplicado ao cálculo do comprimento da diagonal de um quadrado de 1 unidade de lado, conforme se pode observar na figura que se segue.

 
O problema residia no facto dos pitagóricos afirmarem que tudo era número, entenda-se número inteiro ou fracionário, aqueles que são designados por "Racionais", querendo dizer com isso que uma diagonal como a representada na figura deveria ser mensurável e assim ter  uma representação "Racional" do seu comprimento. Ora como sabiam que o seu teorema era uma verdade insofismável e não existia nenhum número inteiro que o representasse, então o número raiz quadrada de dois tinha que ter uma representação fracionária irredutível, isto é, que deveria ter uma representação sob a forma de uma fração com numerador e denominador sem divisores comuns. A demonstração que se segue, prova a impossíbilidade de tal acontecer:
 
Demonstração:
 
       Hipótese:

  em que a sobre b é uma fração irredutível ( a e b não têm divisores comuns maiores que 1 )

 

 

 

 

       Tese:  A hipótese é absurda. 

 

 

       Façamos então a demonstração propriamente dita: 

 

               Se admitirmos a hipótese como verdadeira, podemos escrever:

 

 elevando ambos os membros ao quadrado. verificamos então que:

 


  ou seja, a ao quadrado é igual ao dobro de b ao quadrado. Este resultado permite dizer que o número a é par pois se a x a é par (dobro de um número) e se o produto de dois números ímpares é ímpar, então um produto só é par se pelo menos um dos fatores o for, mas neste caso os dois fatores são iguais pelo que são pares. E como a é par então podemos escrever (4).

 


o que nos indica a paridade de a que por isso é o dobro de um número m. Mas então podemos escrever a partir de (3)  que (5):

 

 

 

o que traduz o facto de b também ser par, como tinhamos visto para o a . Mas então se a e b são ambos pares, a fração a/b não é irredutível pois pelo menos existe um divisor comum entre a e b que é dois, pelo que a hipótese é absurda o que nos mostra que não há nenhuma fracção irredutível que seja igual a raiz quadrada de dois,

 

                                                                          q.e.d.(*)

 

 

        Vimos assim uma das mais belas demonstrações, pela sua simplicidade, pela harmonia lógica do raciocínio, ... .

 

 

 

NOTA: (*) Q.E.D. são as iniciais da locução latina quod erat demonstrandum que podemos traduzir por como queríamos demonstrar , aparecendo por vezes as iniciais em português c.q.d. .

 

                    Apenas como curiosidade cómica, quando andava na faculdade, costumavamos dizer que q.e.d. significava "qualquer estúpido demonstra".

publicado por xico corrêa às 12:20 | comentar | favorito